设 $a_n=\int_0^1 x^n \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x(n=1,2,3, \cdots)$.
(1) 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递减，且
$$
a_n=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots) ;
$$
(2) 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$