【ID】1689 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2008年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, $X$ 的概率分布为 $P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y .$
(I) 求 $P\left\{Z \leqslant \frac{1}{2} \mid X=0\right\}$;
(II) 求 $Z$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$.
答案:
$$
\text { (I ) } \begin{aligned}
P\left\{Z \leqslant \frac{1}{2} \mid X=0\right\}=& \frac{P\left\{X=0, Z \leqslant \frac{1}{2}\right\}}{P\{X=0\}} \\
=& \frac{P\left\{X=0, Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}}{P\{X=0\}} \\
&=P\left\{Y \leqslant \frac{1}{2}\right\}=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
(II) $F_{Z}(z)=P\{Z \leqslant z\}=P\{X+Y \leqslant z\}$
$$
\begin{aligned}
&=P\{X+Y \leqslant z, X=-1\}+P\{X+Y \leqslant z, X=0\}+P\{X+Y \leqslant z, X=1\} \\
&=P\{Y \leqslant z+1, X=-1\}+P\{Y \leqslant z, X=0\}+P\{Y \leqslant z-1, X=1\} \\
&=P\{Y \leqslant z+1\} P\{X=-1\}+P\{Y \leqslant z\} P\{X=0\}+P\{Y \leqslant z-1\} P\{X=1\} \\
&=\frac{1}{3}[P\{Y \leqslant z+1\}+P\{Y \leqslant z\}+P\{Y \leqslant z-1\}] \\
&=\frac{1}{3}\left[F_{Y}(z+1)+F(z)+F_{Y}(z-1)\right],
\end{aligned}
$$

\begin{aligned}
f_{Z}(z) &=F_{Z}^{\prime}(z) \\
&=\frac{1}{3}\left[f_{Y}(z+1)+f_{Y}(z)+f_{Y}(z-1)\right] \\
&= \begin{cases}\frac{1}{3}, \quad-1 \leqslant z < 2, \\
0, & \text { 其他. }\end{cases}
\end{aligned}

解析:

视频讲解

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