已知 $a 、 b 、 c$ 是实数, 函数 $f(x)=a x^2+b x+c, g(x)=a x+b$, 当 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $|f(x)| \leqslant 1$.
( I ) 证明: $|\mathrm{c}| \leqslant 1$ ；
(II) 证明: 当 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $|g(x)| \leqslant 2$;
(III) 设 $a>0$, 当 $-1 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $g(x)$ 的最大值为 2 , 求 $f(x)$.