题号:1631    题型:单选题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 且 $X$ 与 $Y$ 不相关, $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 分别表示 $X, Y$ 的概率 密度, 则在 $Y=y$ 的条件下, $X$ 的条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为 ( )
$A.$ $f_{X}(x)$. $B.$ $f_{Y}(y)$. $C.$ $f_{X}(x) f_{Y}(y)$ $D.$ $\frac{f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}$.
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答案:
A

解析:

由于 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 因此 $X$ 与 $Y$ 不相关可知 $X$ 与 $Y$ 相互独立.于是有
$$
f_{X \mid Y}(x \mid y)=f_{X}(x) .
$$
选项 $\mathrm{A}$ 正确.
若仔细分析, 由于 $X$ 与 $Y$ 不相关, 即 $\rho=0$, 因此 $(X, Y)$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]} .
$$
而 $X, Y$ 的边缘概率密度分别为
$$
\begin{aligned}
&f_{X}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} \mathrm{e}^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right) 2}{2 \sigma_{1}^{2}}}, \quad f_{Y}(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{1}} \mathrm{e}^{-\frac{\left(y-\mu_{2}\right) 2}{2 \sigma_{2}^{2}}}, \\
&f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_{2}} \mathrm{e}^{-\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{2 \sigma_{1}^{2}}}=f_{X}(x) \text {, 故应选 A. }
\end{aligned}
$$

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