题号:1625    题型:单选题    来源:2007年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
$A.$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$. $B.$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$. $C.$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在. $D.$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
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答案:
D

解析:

由选项 $\mathrm{A}$ 的条件得 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 又 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)$, 从而 $f(0)=0$. 由选项 B 的条件得 $\lim _{x \rightarrow 0}[f(x)+f(-x)]=f(0)+f(0)=0$, 从而 $f(0)=0$. 由选项 $\mathrm{C}$ 的条件得 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)=0$, 从而 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(0)$ 存在.
因此 $A 、 B, C$ 正确.故应选 $D$.
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