设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
A. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
B. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
C. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在,则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
D. 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.