在①$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列, ② $\frac{S_{n}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2}$, ③ $S_{6}=2 S_{4}+4$ 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 并完成解答.
问题: 在公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4}=16$ ,是否存在正整数 $k$, 使 得 $S_{k} < 2 a_{k}+20$ ? 若存在, 求出所有的正整数 $k$; 若不存在, 请说明理由.