题号:1616    题型:填空题    来源:2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
在①$a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列, ② $\frac{S_{n}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2}$, ③ $S_{6}=2 S_{4}+4$ 这三个条件中任选一个, 补充在下面问题中, 并完成解答.
问题: 在公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{4}=16$,____ ,是否存在正整数 $k$, 使 得 $S_{k} < 2 a_{k}+20$ ? 若存在, 求出所有的正整数 $k$; 若不存在, 请说明理由.
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答案:
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$,
选择(1): 由 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列, 得 $a_{3}^{2}=a_{1} a_{9}$, 即 $\left(a_{1}+2 d\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+8 d\right)$, 得 $a_{1} d=d^{2}$, 又 $d \neq 0$, 所以 $a_{1}=d$,
又 $a_{4}=16=a_{1}+3 d$, 所以 $d=4, a_{1}=4$,
所以 $a_{n}=4 n, S_{n}=\frac{n(4+4 n)}{2}=2 n(n+1)$,

所以 $S_{k} < 2 a_{k}+20$, 即 $2 k(k+1)-8 k-20 < 0$, 整理得 $k^{2}-3 k-10 < 0$, 即 $-2 < k < 5$, 又 $k$ 为正整数, 所以正整数 $k$ 存在, 可以取 $1,2,3,4$.
选择(2): 由 $\frac{S_{n}}{a_{n}}=\frac{n+1}{2}$, 取 $n=2$, 得 $2 S_{2}=3 a_{2}$, 即 $2\left(a_{1}+a_{2}\right)=3 a_{2}$, 所以 $a_{2}=2 a_{1}$, 又 $a_{2}=a_{1}+d$, 所以 $a_{1}=d$,
又 $a_{1}+3 d=16$, 所以 $d=4, a_{1}=4$
所以 $a_{n}=4 n, S_{n}=2 n(n+1)$, 经验证满足条件(2)

所以 $S_{k} < 2 a_{k}+20$, 即 $2 k(k+1)-8 k-20 < 0$, 整理得 $k^{2}-3 k-10 < 0$, 即 $-2 < k < 5$, 又 $k$ 为正整数, 所以正整数 $k$ 存在, 可以取 $1,2,3,4$.
选择(3): $S_{6}=6 a_{1}+15 d, S_{4}=4 a_{1}+6 d$, 又 $S_{6}=2 S_{4}+4$,
所以 $6 a_{1}+15 d=2\left(4 a_{1}+6 d\right)+4$, 化简得 $2 a_{1}+4=3 d$
又 $a_{1}+3 d=16$, 所以 $d=4, a_{1}=4$,

所以 $a_{n}=4 n, S_{n}=2 n(n+1)$,
所以 $S_{k} < 2 a_{k}+20$, 即 $2 k(k+1)-8 k-20 < 0$, 整理得 $k^{2}-3 k-10 < 0$, 即 $-2 < k < 5$, 又 $k$ 为正整数, 所以正整数 $k$ 存在, 可以取 $1,2,3,4$.

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