题号:1612    题型:填空题    来源:2023届湖北省九师联盟高三新高考摸底联考数学试题及答案
已知 $\triangle A B C$ 是边长为 1 的等边三角形, 设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{a}+\vec{b}$, 则 $|3 \vec{a}+\vec{b}|=$
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答案:
$\sqrt{7}$

解析:

由题意可知: $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{b}$, 所以 $|\overrightarrow{B C}|=|\vec{b}|=1,|\vec{a}|=1$, 由 $|\overrightarrow{A C}|=|\vec{a}+\vec{b}|=1$ 可得

$2 \vec{a} \cdot \vec{b}=-1$, 再计算 $|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}$ 的值即可;
方法二: 由 $|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}=|2 \vec{a}+\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|^{2}$ 计算即可.


法一: $\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{a}=\vec{b}$, 则 $|\overrightarrow{B C}|=|\vec{b}|=1,|\vec{a}|=1$, 而 $|\overrightarrow{A C}|=|\vec{a}+\vec{b}|=1$, 两边平方, 可得 $2 \vec{a} \cdot \vec{b}=-1,|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}=9+6 \vec{a} \cdot \vec{b}+1=7$,
所以 $|3 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}$.
故答案为: $\sqrt{7}$.
法二: 因为 $|3 \vec{a}+\vec{b}|^{2}=|2 \vec{a}+\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|^{2}=4 \overrightarrow{A B^{2}}+4 \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C^{2}}=4+2+1=7$,
故答案为: $\sqrt{7}$.
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