题号:1599    题型:填空题    来源:2022年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析
类型:中考真题
(1) 在 $\triangle A B C$ 中, $B D, C E$ 分别是 $\angle A B C$ 与 $\angle B C A$ 的平分线.
① 若 $\angle A=60^{\circ}, A B=A C$, 如图, 试证明 $B C=C D+B E$ :


② 将① 中的条件 “ $A B=A C ”$ 去掉, 其他条件不变, 如图, 问① 中的结论是否成立? 并说明理由.

(2) 若四边形 $A B C D$ 是圆的内接四边形, 且 $\angle A C B=2 \angle A C D, \angle C A D=2 \angle C A B$, 如图, 试探究线 段 $A D, B C, A C$ 之间的等量关系, 并证明.


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答案:
(1)①$\because \angle A=60^{\circ}, A B=A C$,
又 $\because B D 、 C E$ 分别是 $\angle A B C 、 \angle B C A$ 的平分线.
$\therefore$ 点 $D 、 E$ 分别是 $A C 、 A B$ 的中点.
$$
\begin{aligned}
&\therefore B E=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} B C, C D=\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} B C . \\
&\therefore B C=B E+C D .
\end{aligned}
$$

(2)

(2)结论成立, 理由如下:
设 $B D$ 与 $C E$ 交于点 $F$,
由条件, 得 $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$.
$$
\begin{aligned}
&\text { 又 } \angle A=60^{\circ} \\
&\therefore \angle A B C+\angle B C A=120^{\circ} . \\
&\therefore \angle 1+\angle 3=\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle B C A)=60^{\circ} .
\end{aligned}
$$


\begin{aligned}
&\therefore \angle B F C=120^{\circ}
\end{aligned}

$\therefore \angle 5=\angle 6=60^{\circ}$.
在 $B C$ 上截取 $B G=B E$.
由 $\because B F=B F$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \triangle E B F \cong \triangle G B F . \\
&\therefore \angle 7=\angle 6=60^{\circ} \therefore \angle 8=60^{\circ} . \\
&\therefore \angle 8=\angle 5 . \\
&\text { 又 } \because C F=C F, \\
&\therefore \triangle D F C \cong \triangle G F C . \\
&\therefore D C=G C \therefore B C=B G+G C=B E+C D .
\end{aligned}
$$





(2) $A C=A D+B C$, 理由如下:
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle D A B+\angle B C D=180^{\circ} . \\
&\because \angle A C B=2 \angle A C D, \angle C A D=2 \angle C A B \\
&\therefore \angle D A C=2 \angle 1, \angle B C A=2 \angle 2, \\
&\therefore 3 \angle 1+3 \angle 2=180^{\circ} .
\end{aligned}
$$

$$
\therefore \angle 1+\angle 2=60^{\circ} \text {. }
$$
作点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $E$, 连结 $C E, E A, C E$ 的延长线与 $A D$ 的延长线交于点 $M, A E$ 与 $C D$ 交于
点 $F$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle 1=\angle 3, B C=C E . \\
&\therefore \angle 2+\angle 3=60^{\circ} .
\end{aligned}
$$
$\therefore 2 \angle 2+2 \angle 3=120^{\circ}$
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle M A C+\angle M C A=120^{\circ} \\
&\therefore \angle M=60^{\circ}
\end{aligned}
$$
$\because A E 、 D C$ 分别是 $\angle M A C 、 \angle M C A$ 的角平分线
由(2)得 $A C=A D+B C$.

解析:

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