给定整数 $n(n \geqslant 2)$, 数列 $A_{2 n+1}: x_1, x_2, x_3, \cdots, x_{2 n+1}$, 且 $x_k(k=1,2,3, \cdots, 2 n+1)$ 为整数. 在 $A_{2 n+1}$ 中去掉一项 $x_k(k=1,2,3, \cdots, 2 n+1)$, 并将剩下的数分成项数相同的两组, 其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为 $m_k(k=1,2, \cdots, 2 n+1)$. 将 $m_1, m_2, \cdots, m_{2 n+1}$ 中的最小值称为数列 $A_{2 n+1}$ 的特征值.
(1) 已知数列 $A_5: 1,2,3,3,3$, 写出 $m_1, m_2, m_5$ 的值及 $A_5$ 的特征值;
(2) 若 $x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_{2 n+1}$, 当 $[\mathrm{i}-(n+1)]\{j-(n+1)] \geqslant 0$, 其中 $\mathrm{i}, j \in\{1,2, \cdots, 2 n+1\}$, 且 $\mathrm{i} \neq j$ 时, 证.明: $\left|m_i-m_j\right|=\left|x_i-x_j\right|$;
(3) 已知数列 $A_{2 n+1}$ 的特征值为 $n-1$, 求 $\sum_{j>i \ge 1}^{i < j < 2 n+1}\left|x_i-x_j\right|$ 的最小值.