题号:1586    题型:单选题    来源:2022年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析
如图, 四边形 $A B C D$ 为矩形, $A B=3, B C=4$. 点 $P$ 是线段 $B C$ 上一动点, 点 $M$ 为线段 $A P$ 上一 点. $\angle A D M=\angle B A P$, 则 $B M$ 的最小值为 ( )
$A.$ $\frac{5}{2}$ $B.$ $\frac{12}{5}$ $C.$ $\sqrt{13}-\frac{3}{2}$ $D.$ $\sqrt{13}-2$
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答案:
D

解析:



如图, 取 $A D$ 的中点 $O$, 连接 $O B, O M$.
$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore \angle B A D=90^{\circ}, A D=B C=4, \\
&\therefore \angle B A P+\angle D A M=90^{\circ}, \\
&\because \angle A D M=\angle B A P, \\
&\therefore \angle A D M+\angle D A M=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle A M D=90^{\circ}, \\
&\because A O=O D=2, \\
&\therefore O M=\frac{1}{2} A D=2,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 点 $M$ 的运动轨迹是以 $O$ 为圆心, 2 为半径的 $\odot O$.
$$
\because O B=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AO}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13} \text {, }
$$
$$
\therefore B M \geq O B-O M=\sqrt{13}-2 \text {, }
$$
$\therefore B M$ 的最小值为 $\sqrt{13}-2$.
故选: $D$.
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