设有齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
(1+a) x_1+x_2+\cdots+x_n=0, \\
2 x_1+(2+a) x_2+\cdots+2 x_n=0, \quad(n \geq 2) \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
n x_1+n x_2+\cdots+(n+a) x_n=0,
\end{array}\right.
$$
试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出其非零解.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$