设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{X}^T A \boldsymbol{X}=a x_1^2+2 x_2^2-2 x_3^2$ $+2 b x_1 x_3(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 .
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$