题号:1543    题型:填空题    来源:广西省柳州市2023届新高三摸底考试(文科数学)
在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上的动点, 现有下面四个命题:
(1)直线 $D E$ 与直线 $A C$ 所成角为定值; (2) 点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离为定值;
(3)三棱雉 $E-A_{1} B D$ 的体积为定值; (4)三棱雉 $E-A_{1} B D$ 外接球的体积为定值.
其中所有真命题的序号是
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
(1)(3)

解析:

【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断(1), 由正方体的性质, 可通过 $E$ 到 $A_{1} B_{1}$ 的距离来计算 $E$ 到
$A B$ 的距离, 从而判断(2), 根据棱雉体积公式, 判断(3), 想象 $E$ 在不同位置时外接球的半径的变化, 判断
(4).
【详解】易证 $A C \perp$ 平面 $B B_{1} D_{1} D, D E \subset$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$, 所以恒有 $A C \perp D E$, 直线 $D E$ 与直线 $A C$ 所成角为
$90^{\circ}$, 所以(1)是真命题. 点 $E$ 到直线 $A B$ 的距离与点 $E$ 到直线 $A_{1} B_{1}$ 的距离有关, 所以(2)是假命题. 因为
$B_{1} D_{1} / / B D$, 由线面平行的判定定理可得 $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D$, 故点 $E$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离 $d$ 为定值, 则
$V_{E-A_{1} B D}=\frac{1}{3} d \cdot S_{\triangle A_{1} B D}$ 为定值, 所以(3)是真命题. $B_{1} D_{1} / /$ 平面 $A_{1} B D, E$ 在 $B_{1} D_{1}$ 上变化, 例如点 $E$ 在 $D_{1}$ 处 和在 $B_{1} D_{1}$ 的中点处时, 三棱雉 $E-A_{1} B D$ 的外接球半径不同, 故其外接球的体积不是定值, 所以(4)是假命题.
故答案为: (1)(3)


①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭