题号:1448    题型:解答题    来源:2021年广西北部湾经济区中考数学试卷
如图(1), 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C$ 于点 $D, B C=14, A D=8, B D=6$, 点 $E$ 是 $A D$ 上一动点 (不 与点 $A, D$ 重合), 在 $\triangle A D C$ 内作矩形 $E F G H$, 点 $F$ 在 $D C$ 上, 点 $G, H$ 在 $A C$ 上, 设 $D E$ $=x$, 连接 $B E$.
(1) 当矩形 $E F G H$ 是正方形时, 直接写出 $E F$ 的长;
(2) 设 $\triangle A B E$ 的面积为 $S_{1}$, 矩形 $E F G H$ 的面积为 $S_{2}$, 令 $y=\frac{S_{1}}{S_{2}}$, 求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析 式(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围);
(3) 如图(2), 点 $P(a, b)$ 是 (2) 中得到的函数图象上的任意一点, 过点 $P$ 的直线 $l$ 分 别与 $x$ 轴正半轴, $y$ 轴正半轴交于 $M, N$ 两点, 求 $\triangle O M N$ 面积的最小值, 并说明理由.
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答案:
解: (1) 设 $E F=m$.
$$
\begin{aligned}
&\because B C=14, B D=6, \\
&\therefore C D=B C-B D=14-6=8, \\
&\because A D=8, \\
&\therefore A D=D C=8, \\
&\because A D \perp B C, \\
&\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \\
&\therefore A C=\sqrt{2} A D=8 \sqrt{2}, \\
&\because \text { 四边形 } E F G H \text { 是正方形, } \\
&\therefore E H=F G=G H=E F=m, \angle E H G=\angle F G H=90^{\circ}, \\
&\therefore \angle A H E=\angle F G C=90^{\circ}, \\
&\because \angle D A C=\angle C=45^{\circ},
\end{aligned}
$$

\begin{aligned}
&\therefore \angle A E H=\angle E A H=45^{\circ}, \angle G F C=\angle C=45^{\circ}, \\
&\therefore A H=E H=x, C G=F G=x, \\
&\therefore 3 m=8 \sqrt{2}, \\
&\therefore m=\frac{8 \sqrt{2}}{3}, \\
&\therefore E F=\frac{8 \sqrt{2}}{3} . \\
&\therefore A E=C F=8-x, \\
&\therefore D H=\frac{\sqrt{2}}{2} A E=\frac{\sqrt{2}}{2}(8-x), E F=\sqrt{2} D E=\sqrt{2} x, \\
&\therefore y=\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{1}{2} \times(8-x) \times 6}{\sqrt{2} x \times \frac{\sqrt{2}}{2}(8-x)}=\frac{3}{x}, \\
&\therefore y=\frac{3}{x}(0 < x < 8) .
\end{aligned}

(3) 如图(3)中, 由 (2) 可知点 $P$ 在 $y=\frac{3}{x}$ 上,

当 $O P$ 最小时, 点 $P$ 在第一象限的角平分线时, 此时 $P(\sqrt{3}, \sqrt{3})$, 当直线 $M N \perp O P$ 时, $\triangle O M N$ 的面积最小,
此时 $O M=O N=2 \sqrt{3}$,
$\therefore \triangle M O N$ 的面积的最小值 $=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 2 \sqrt{3}=6$.
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