题号:1447    题型:解答题    来源:2021年广西北部湾经济区中考数学试卷
2022 年北京冬奥会即将召开, 激起了人们对冰雪运动的极大热情. 如图是某跳台滑雪训 练场的横截面示意图, 取某一位置的水平线为 $x$ 轴, 过跳台终点 $A$ 作水平线的垂线为 $y$ 轴, 建立平面直角坐标系, 图中的抛物线 $C_{1}: y=-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{7}{6} x+1$ 近似表示滑雪场地上的一 座小山坡, 某运动员从点 $O$ 正上方 4 米处的 $A$ 点滑出, 滑出后沿一段抛物线 $C_{2}: y=$ $-\frac{1}{8} x^{2}+b x+c$ 运动.
(1) 当运动员运动到离 $A$ 处的水平距离为 4 米时, 离水平线的高度为 8 米, 求抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式 (不要求写出自变量 $x$ 的取值范围);
(2) 在 (1) 的条件下, 当运动员运动的水平距离为多少米时, 运动员与小山坡的坚直距 离为 1 米?
(3) 当运动员运动到坡顶正上方, 且与坡顶距离超过 3 米时, 求 $b$ 的取值范围.

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答案:
解: (1) 由题意可知拖物线 $C_{2}: y=-\frac{1}{8} x^{2}+b x+c$ 过点 $(0,4)$ 和 $(4,8)$, 将其代入得:
$\left\{\begin{array}{l}4=c \\ 8=-\frac{1}{8} \times 4^{2}+4 b+c\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}, \\ c=4\end{array}\right.$
$\therefore$ 抛物线 $C_{2}$ 的函数解析式为: $y=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{3}{2} x+4$;
(2)设运动员运动的水平距离为 $m$ 米时, 运动员与小山坡的坚直距离为 1 米, 依题意 得:
$$
-\frac{1}{8} m^{2}+\frac{3}{2} m+4-\left(-\frac{1}{12} m^{2}+\frac{7}{6} m+1\right)=1,
$$
整理得: $(m-12)(m+4)=0$,
解得: $m_{1}=12, m_{2}=-4$ (舍去),
故运动员运动的水平距离为 12 米时, 运动员与小山坡的坚直距离为 1 米;
(3) $C_{1}: y=-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{7}{6} x+1=-\frac{1}{12}(x-7)^{2}+\frac{61}{12}$,
当 $x=7$ 时, 运动员到达坡顶,
$$
\text { 即 }-\frac{1}{8} \times 7^{2}+7 b+4 > 3+\frac{61}{12} \text {, }
$$
解得: $b > \frac{35}{24}$.

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