已知函数 $y=f(x), x \in D$. 若对于给定的非零常数 $m$, 存在非零常数 $T$, 使得 $f(x+T)=m \cdot f(x)$ 对于 $x \in D$ 恒成立, 则称函数 $y=f(x)$ 是 $D$ 上的“ $m$ 级类周期函数”, 周期为 $T$.
(1) 已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的周期为 1 的 “ 2 级类周期函数”, 且当 $x \in(0,1]$ 时, $f(x)=x(x-1)$. 求 $f\left(\frac{3}{2}\right)$ 的值;
(2) 在 (1) 的条件下, 若对任意 $x \in(-\infty, t]$, 都有 $f(x) \geq-\frac{8}{9}$, 求实数 $t$ 的取值范围;
(3) 是否存在非零实数 $k$, 使函数 $f(x)=\sin k x$ 是 $\mathbf{R}$ 上的周期为 $T$ 的 $T$ 级类周期函数, 若存在, 求出实数 $k$ 和 $T$ 的值, 若不存在, 说明理由.