已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)\left(|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位, 得到函数 $g(x)$ 的图像, 且 $g(x)$ 为偶函数.
(1) 求函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式;
(2) 若对 $\forall a, b \in[0, m]$. 当 $a < b$ 时, 都有 $f(b)-f(a)>g(a)-g(b)$ 成立, 求 $m$ 的取值范围;
(3) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=k$ 在 $\left[0, \frac{13 \pi}{6}\right]$ 上恰有四个不等实根, $x_1, x_2, x_3, x_4\left(x_1 < x_2 < x_3 < x_4\right)$,求 $k$ 的取值范围和 $x_1+2 x_2+2 x_3+x_4$ 的值.