设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\alpha^2}, & 0 \leqslant x \leqslant \alpha, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\alpha>1$ 未知, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}$;
(2) 求 $p$ 的最大似然估计量 $\hat{p}$.6.11 解 (1) $p=P\{0 < X < \sqrt{\alpha}\}=\int_0^{\sqrt{\alpha}} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha}$.
(2) 当 $0 \leqslant x_1 \leqslant \alpha, 0 \leqslant x_2 \leqslant \alpha, \cdots, 0 \leqslant x_n \leqslant \alpha$ 时, 似然函数为
$$
L(\alpha)=f\left(x_1\right) f\left(x_2\right) \cdots f\left(x_n\right)=\frac{2^n}{\alpha^{2 n}} x_1 x_2 \cdots x_n,
$$

显然 $L(\alpha)$ 关于 $\alpha$ 单调减少, 且 $\alpha \geqslant \max \left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$, 则 $\alpha$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{\alpha}=\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\} \text {. }
$$

又由 (1) 知 $p=\frac{1}{\alpha}$ 关于 $\alpha$ 是单调函数, 根据最大似然估计的不变性, 有 $p$ 的最大似然估计量为
$$
\hat{p}=\frac{1}{\max \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}} .
$$