如图, 在棱长为 4 的正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $E$ 为 $C C_1$ 的中点, 经过 $A, D_1, E$ 三点的平面记为平面 $\alpha$, 点 $P$ 是侧面 $B C C_1 B_1$ 内的动点, 且 $A_1 P / / \alpha$.
（1）设平面 $B C C_1 B_1 \cap \alpha=l$, 求证: $A D_1 / / l$;
(2) 平面 $\alpha$ 将正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 分成两部分, 求这两部分的体积之比 $\frac{V_1}{V_2}$ (其中 $V_1 \leqslant V_2$ );
（3）当 $A_1 P$ 最小时, 求三棱椎 $P-A A_1 D_1$ 的外接球的表面积.