如图1, $\square A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$, 点 $M, N$ 分别在边 $A D, B C$ 上, 且 $A M=C N$. 点 $E, F$ 分别是 $B D$ 与 $A N, C$ $M$ 的交点.
(1) 求证: $O E=O F$;
(2) 连接 $B M$ 交 $A C$ 于点 $H$, 连接 $H E, H F$.
(i) 如图 2 , 若 $H E // A B$, 求证: $H F // A D$;
(ii) 如图3, 若 $\square A B C D$ 为菱形, 且 $M D=2 A M, \angle E H F=60^{\circ}$, 求 $\frac{A C}{B D}$ 的值.