已知双曲线 $C: x^2-y^2=m(m>0)$, 点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上, $k$ 为常数, $0 < k < 1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n(n=2,3, \cdots)$, 过点 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$, 令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点, 记 $P_n$ 的坐标为 $\left(x_n, y_n\right)$.
(1) 若 $k=\frac{1}{2}$, 求 $x_2, y_2$.
(2) 证明: 数列 $\left\{x_n-y_n\right\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列.
(3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_n P_{n+1} P_{n+2}$ 的面积, 证明: 对任意的正整数 $n, S_n=S_{n+1}$.