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题号:13919 题型:解答题 来源:山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测数学试题
在平面内, 若直线
l
将多边形分为两部分, 多边形在
l
两侧的顶点到直线
l
的距离之和相等,则称
l
为多边形的一条“等线”, 已知
O
为坐标原点, 双曲线
E
:
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
(
a
>
0
,
b
>
0
)
的左,右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
E
的离心率为 2 . 点
P
为
E
右支上一动点, 直线
m
与曲线
E
相切于点
P
,且与
E
的渐近线交于
A
,
B
两点. 当
P
F
2
⊥
x
轴时, 直线
y
=
1
为
△
P
F
1
F
2
的等线.
(1) 求
E
的方程;
(2) 若
y
=
2
x
是四边形
A
F
1
B
F
2
的等线, 求四边形
A
F
1
B
F
2
的面积;
(3) 设
O
G
→
=
1
3
O
P
→
, 点
G
的轨迹为曲线
Γ
, 证明:
Γ
在点
G
处的切线
n
为
△
A
F
1
F
2
的等线.
A.
B.
C.
D.
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