在平面内, 若直线 $l$ 将多边形分为两部分, 多边形在 $l$ 两侧的顶点到直线 $l$ 的距离之和相等,则称 $l$ 为多边形的一条“等线”, 已知 $O$ 为坐标原点, 双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左,右焦点分别为 $F_1, F_2, E$ 的离心率为 2 . 点 $P$ 为 $E$ 右支上一动点, 直线 $m$ 与曲线 $E$ 相切于点 $P$,且与 $E$ 的渐近线交于 $A, B$ 两点. 当 $P F_2 \perp x$ 轴时, 直线 $y=1$ 为 $\triangle P F_1 F_2$ 的等线.
(1) 求 $E$ 的方程;
(2) 若 $y=\sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_1 B F_2$ 的等线, 求四边形 $A F_1 B F_2$ 的面积;
(3) 设 $\overrightarrow{O G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{O P}$, 点 $G$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$, 证明: $\Gamma$ 在点 $G$ 处的切线 $n$ 为 $\triangle A F_1 F_2$ 的等线.