在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^2+b x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1) 求抛物线的解析式及顶点坐标;
( 2 ) 若点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点, 当 $\triangle P B C$ 面积最大时, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 若点 $P$ 为抛物线上一点, 点 $Q$ 是线段 $B C$ 上一点 (点 $Q$ 不与两端点重合), 是否存在以 $P 、 Q 、 O$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形, 若存在, 请直接写出满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在, 请说明理由.