如图, 三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面四边形 $A C C_1 A_1$ 为等腰梯形, 底面三角形 $A B C$ 为正三角形, 且 $A C=2 A_1 C_1=2$. 设 $D$ 为棱 $A_1 C_1$ 上的点.
(1) 若 $D$ 为 $A_1 C_1$ 的中点, 求证: $A C \perp B D$;
(2) 若三棱台 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $\frac{7}{8}$, 且侧面 $A C C_1 A_1 \perp$ 底面 $A B C$, 试探究是否存在点 $D$, 使直线 $B D$ 与平面 $B C C_1 B_1$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ? 若存在, 确定点 $D$ 的位置；若不存在, 说明理由.