某物理学习兴趣小组成员小张找到了一个 $L E D$ 灯和一段光导纤维进行研究。查阅资料发现, $L E D$ 灯是一块用环氧树脂密封的发光半导体材料。光导纤维由内芯和外套两层组成, 光传播时在内芯与外套的界面上发生全反射。
(1) 有一 $L E D$ 灯结构如图甲所示, 发光区域为直径 $3 \mathrm{~mm}(M N$ 之间) 的圆盘 (厚度不计), 发光面上覆盖折射率 $n=1.6$ 的半球形环氧树脂, 发光圆盘的圆心与球心重合。要使发光区域发出的所有光线在球面上都不发生全反射, 求环氧树脂半径 $R$ 满足的条件;
(2) 一段长直光导纤维由内芯和外套组成, 其剖面如图乙, 其中内芯的折射率 $n_1=2$, 外套的折射率 $n_2=$ $\sqrt{3}$ 。已知光从折射率为 $n_1$ 的介质射入折射率为 $n_2$ 的介质时, 入射角 $\theta_1$ 与折射角 $\theta_2$ 间满足关系 $n_1 \sin \theta_1=$ $n_2 \sin \theta_2$ 。试通过计算说明从该光导纤维一端入射的光信号是否会通过外套“泄漏”出去。