如图, Rt $\triangle A B C, \angle C=90^{\circ}, \angle A B C=60^{\circ}$, 利用尺规在 $B C, B A$ 上分别截取 $B E, B D$, 使 $B E=B D$; 分别以 $D, E$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径画弧, 两弧在 $\angle C B A$ 内交于点 $F$; 作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$. 若 $B G=2$, 则 $\triangle A B G$ 的面积为