设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称阵, $\boldsymbol{\xi}_1=(a,-2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\xi}_2=(a, a,-3)^{\mathrm{T}}$是 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解, 且 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 化为标准形;
(III) 当 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=2$ 时, 求 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ 的最大值.