如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 过点 $O$ 作 $A C$ 的垂线,垂足为 $D$, 分别交直线 $B C, \overparen{A C}$ 于点 $E, F$, 射线 $A F$ 交直线 $B C$ 于点 $G$.
(1) 求证 $A C=C G$.
(2) 若点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上, 且 $E B=C G$, 求 $\angle B A C$ 的度数.
（3）当 $B C=6$ 时, 随着 $C G$ 的长度的增大, $E B$ 的长度如何变化? 请描述变化过程, 并说明理由。