题号:1313    题型:解答题    来源:2022年上海市中考数学试卷
如图所示, 在等腰三角形 $A B C$ 中, $A B=A C$, 点 $E, F$ 在线段 $B C$ 上, 点 $Q$ 在线段 $A B$ 上, 且 $C F=B E, A E^{2}=A Q \cdot A B$ 求证:
(1) $\angle C A E=\angle B A F$;
(2) $C F \cdot F Q=A F \cdot B Q$


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答案:
(1)
$$
\begin{aligned}
&\because C F=B E \quad \therefore C E=B F\\
&\because A C=B C \quad \therefore \angle C=\angle B\\
&\text { 在 } \triangle A C E \text { Gre } \triangle A B F+\\
&\left\{\begin{array}{l}
A C=A B \\
\angle C=\angle B \\
C E=B F
\end{array}\right.\\
&\therefore \triangle A C E \cong \triangle A B F(S A S)\\
&\therefore \angle L A E=\angle B A F \quad \therefore A E=A F
\end{aligned}
$$

(2)
$$
\begin{aligned}
A Q \cdot A B &=A E=A F \\
\therefore & \frac{A F}{A Q}=\frac{A B}{A F}, 又 \angle F A Q=\angle B A F \\
\therefore & \triangle F A Q \backsim \triangle B A F . \\
\therefore \angle F Q A &=\angle A F B \Rightarrow \angle F Q B=\angle A F C . \\
& 2 \angle B=\angle C \\
\therefore & \triangle F Q B \backsim \triangle A F C \\
\therefore & \frac{F Q}{3 Q}=\frac{A F}{F C} \Rightarrow F Q \cdot C F=A F \cdot B Q
\end{aligned}
$$
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