十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人, 用二进制记数只需数字 0 和 1 , 对于整数可理解为逢二进 一, 例如: 自然数 1 在二进制中就表示为 $(1)_2, 2$ 表示为 $(10)_2, 3$ 表示为 $(11)_2, 5$ 表示为 $(101)_2$, 发现若 $n \in N_{+}$可表示为二进制表达式 $\left(a_0 a_1 a_2 \cdots a_{k-1} a_k\right)_2$, 则 $n=a_0 \cdot 2^k+$ $a_1 \cdot 2^{k-1}+\cdots+a_{k-1} \cdot 2^1+a_k$, 其中 $a_0=1, a_i=0$ 或 $1(i=1,2, \cdots k)$.
(1)记 $S(n)=a_0+a_1+\cdots+a_{k-1}+a_k$, 求证: $S(8 n+3)=S(4 n+3)$;
(2)记 $I(n)$ 为整数 $n$ 的二进制表达式中的 0 的个数, 如 $I(2)=1, I(3)=0$.
(i) 求 $I(60)$;
(ii) 求 $\sum_{n=1}^{511} 2^{I(n)}$ （用数字作答）.