英国数学家泰勒发现了如下公式: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\cdots+\frac{x^n}{n !}+\cdots$ 其中 $n !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n, e$ 为自然对数的底数, $e=2.71828 \cdots \cdots$. 以上公式称为泰勒公式.设 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, 根据以上信息,并结合高中所学的数学知识, 解决如下问题.
(1)证明: $e^x \geq 1+x$;
(2)设 $x \in(0,+\infty)$, 证明: $\frac{f(x)}{x} < g(x)$;
(3) 设 $F(x)=g(x)-a\left(1+\frac{x^2}{2}\right)$, 若 $x=0$ 是 $F(x)$ 的极小值点, 求实数 $a$ 的取值范围.