如果函数 $F(x)$ 的导数 $F^{\prime}(x)=f(x)$, 可记为 $F(x)=\int f(x) d x$. 若 $f(x) \geq 0$, 则 $\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)$ 表示曲线 $y=f(x)$, 直线 $x=a, x=b$ 以及 $x$ 轴围成的“曲边梯形”的面积.
(1)若 $F(x)=\int \frac{1}{x} d x$, 且 $F(1)=1$, 求 $F(x)$;
(2)已知 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, 证明: $\alpha \cos ^\alpha < \int_0^a \cos ^x d x < \alpha$, 并解释其几何意义;
(3)证明: $\frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{3 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right) < \frac{2 \sqrt{2}}{\pi}, n \in N^*$.