如图, $A B, C D$ 是 $\odot O$ 的两条直径, 且 $A B \perp C D$, 点 $E$ 是 $\overparen{B D}$ 上一动点 (不与点 $B, D$ 重合), 连接 $D E$ 并延长交 $A B$ 的延长线于点 $F$, 点 $P$ 在 $A F$ 上, 且 $\angle P E F=\angle D C E$, 连接 $A E, C E$ 分别交 $O D, O B$ 于点 $M, N$, 连接 $A C$, 设 $\odot O$ 的半径为 $r$.
(1) 求证: $P E$ 是 $\odot O$ 的切线;
（2）当 $\angle D C E=15^{\circ}$ 时, 求证: $A M=2 M E$ ；
(3) 在点 $E$ 的移动过程中, 判断 $A N \cdot C M$ 是否为定值, 若是, 求出该定值; 若不是, 请说明理由.