在平面直角坐标系中, 已知二次函数 $y=a x^2+(a+2) x+1(a \neq 0, a$ 是常数 ).
(1) 若该函数的图象经过点 $(1,1)$, 求该二次函数图象的顶点坐标;
(2) 若点 $\left(m, y_1\right),\left(n, y_2\right)$ 是该二次函数的图象上两个不同的点, 则:
(1)当 $m+n=-2$ 时, 如果恒有 $y_1=y_2$, 求此二次函数的最值;
(2)当 $a>2$ 且 $n>m \geq-\frac{1}{2}$ 时, 求证: $y_2>y_1$.