已知数列 $\left\{a_n\right\} 、\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n 、 B_n$, 记 $c_n=a_n \cdot B_n+b_n \cdot A_n-$ $a_n \cdot b_n$, 则数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 2021 项和为
$\text{A.}$ $A_{2021}+B_{2021}$
$\text{B.}$ $\frac{A_{2021}+B_{2021}}{2}$
$\text{C.}$ $A_{2021} \cdot B_{2021}$
$\text{D.}$ $\sqrt{A_{2021} \cdot B_{2021}}$