如图, 直线 $y=x+b(b \neq 0)$ 交坐标轴于 $A 、 B$ 两点, 交双曲线 $y=\frac{2}{x}$ 于点 $D$, 过 $D$ 作两坐标轴的垂线 $D C 、 D E$, 连接 OD.
(1) 求证: $\mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{CDE}$;
(2) 对任意的实数 $\mathrm{b}(\mathrm{b} \neq 0)$, 求证 $\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}$ 为定值;
(3) 是否存在直线 $A B$, 使得四边形 $O B C D$ 为平行四边形? 若存在, 求出直线的解析式;若不存在, 请说明理由.