2001年全国硕士研究生招生考试试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导的充要条件为

$ \text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(1-\cos h)$ 存在. $ \text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-\mathrm{e}^{h}\right)$ 存在. $ \text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(h-\sin h)$ 存在. $ \text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]$ 存在.

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答案：

解析：

方法 1：因为
$\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-e^{h}\right)=e^{h}=x \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\ln (1-x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{\ln (1-x)}$
可见, 若 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 则极限 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} f\left(1-e^{h}\right)$ 一定存在; 反过来也成立.

方法 2: 排除法：举反例说明(A), (C), (D)说明不成立.
比如, $f(x)=|x|$, 在 $x=0$ 处不可导, 但

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(1-\cos h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|1-\cos h|}{h^{2}}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos h}{h^{2}}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^{2}\left(\frac{1}{2} h\right)}{h^{2}}
$$
$\sin \left(\frac{1}{2} h\right) \sim \frac{1}{2} h \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} h^{2}}{h^{2}}=\frac{1}{2}$, 故排除(A)
$$
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h^{2}} f(h-\sin h)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{|h-\sin h|}{h^{2}}=\lim _{h \rightarrow 0}\left|\frac{h-\sin h}{h^{3}}\right| \cdot|h|
$$ 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小, 所以 $\lim _{h \rightarrow 0}\left|\frac{h-\sinh }{h^{3}}\right| \cdot|h|=0$. 故排除(C).
又如 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处不可导, 但 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}[f(2 h)-f(h)]=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-1}{h}=0$ 存在, 进一步可排除(D).

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