题号:1228    题型:解答题    来源:2022年广西桂林市中考数学试卷
如图, 抛物线 $y=-x^{2}+3 x+4$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点 (点 $A$ 位于点 $B$ 的左侧), 与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $N$, 长为 1 的线段 $P Q$ (点 $P$ 位于点 $Q$ 的上 方) 在 $x$ 轴上方的抛物线对称轴上运动.
(1) 直接写出 $A, B, C$ 三点的坐标;
(2) 求 $C P+P Q+Q B$ 的最小值;
(3) 过点 $P$ 作 $P M \perp y$ 轴于点 $M$, 当 $\triangle C P M$ 和 $\triangle Q B N$ 相似时, 求点 $Q$ 的坐标.


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答案:
解: (1) 在 $y=-x^{2}+3 x+4$ 中, 令 $x=0$ 得 $y=4$, 令 $y=0$ 得 $x=-1$ 或 $x=4$, $\therefore A(-1,0), B(4,0), C(0,4)$;

(2) 将 $C(0,4)$ 向下平移至 $C^{n}$, 使 $C C^{\prime}=P Q$, 连接 $B C^{\prime}$ 交抛物线的对称轴 $l$ 于 $Q$, 如图:


$\because C C^{\prime}=P Q, C C^{n} / / P Q$,
$\therefore$ 四边形 $C C^{\prime} Q P$ 是平行四边形,
$\therefore C P=C^{\prime} Q$,
$\therefore C P+P Q+B Q=C^{\prime} Q+P Q+B Q=B C^{\prime}+P Q$,
$\because B, Q, C^{\prime}$ 共线,
$\therefore$ 此时 $C P+P Q+B Q$ 最小, 最小值为 $B C^{\prime}+P Q$ 的值,
$\because C(0,4), C C^{\prime}=P Q=1$,
$\therefore C^{n}(0,3)$,
$\because B(4,0)$,
$\therefore B C^{n}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,
$\therefore B C^{2}+P Q=5+1=6$,
$\therefore C P+P Q+B Q$ 最小值为 6 ;


(3) 如图:


由在 $y=-x^{2}+3 x+4$ 得抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{3}{-2}=\frac{3}{2}$,

设 $Q\left(\frac{3}{2}, t\right)$, 则 $Q\left(\frac{3}{2}, t+1\right), M(0, t+1), N\left(\frac{3}{2}, 0\right)$, $\because B(4,0), C(0,4)$;
$\therefore B N=\frac{5}{2}, Q N=t, \quad P M=\frac{3}{2}, C M=|t-3|$,
$\because \angle C M P=\angle Q N B=90^{\circ}$,
$\therefore \triangle C P M$ 和 $\triangle Q B N$ 相似, 只需 $\frac{C M}{Q N}=\frac{P M}{B N}$ 或 $\frac{C M}{B N}=\frac{P M}{Q N}$,
(1) 当 $\frac{C M}{Q N}=\frac{P M}{B N}$ 时, $\frac{|t-3|}{t}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}$,
解得 $t=\frac{15}{2}$ 或 $t=\frac{15}{8}$,
$\therefore Q\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ 或 $\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{8}\right)$;
(2) 当 $\frac{\mathrm{CM}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QN}}$ 时, $\frac{|\mathrm{t}-3|}{\frac{5}{2}}=\frac{\frac{3}{2}}{\mathrm{t}}$,
解得 $t=\frac{3+2 \sqrt{6}}{2}$ 或 $t=\frac{3-2 \sqrt{6}}{2}$ (舍去),
$\therefore Q\left(\frac{3}{2}, \frac{3+2 \sqrt{6}}{2}\right)$,
综上所述, $Q$ 的坐标是 $\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{2}\right)$ 或 $\left(\frac{3}{2}, \frac{15}{8}\right)$ 或 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3+2 \sqrt{6}}{2}\right)$.

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