早在南北朝时期, 祖冲之和他的儿子祖桓在研究几何体的体积时, 得到了如下的祖佰原理: 幂势既同,则积不容异。这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积一定相等, 将双曲线 $C_1:x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 与 $y=0,y=\sqrt{3}$ 所围成的平面图形(含边界)绕其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体 $\mathrm{\Gamma }$, 其中线段 $OA$ 为双曲线的实半轴, 点 $B$ 和点 $C$ 为直线 $y=\sqrt{3}$ 分别与双曲线一条渐近线及右支的交点, 则线段 $BC$ 旋转一周所得的图形的面积是 ________ 几何体 $\mathrm{\Gamma }$ 的体积为 ________