已知双曲线: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点为 $F_1, F_2,\left|F_1 F_2\right|=2 a+2, P$ 为双曲线右支上一点, $P F_2 \perp F_1 F_2, \triangle P F_1 F_2$ 的内切圆圆心为 $M, \triangle M F_1 P$ 与 $\mathrm{V}_2 P$ 的面积的差为 1 , 则双曲线的离心率 $e=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$