题号:1174    题型:解答题    来源:2000年全国硕士研究生招生考试试题
设对于半空间 $x > 0$ 内任意的光滑有向封闭曲面 $S$, 都有
$$
\oint_{S} x f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-x y f(x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-\mathrm{e}^{2 x} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0,
$$
其中函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有连续的一阶导数, 且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1$. 求 $f(x)$.
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答案:
由题设条件, 可以用高斯公式:
$$
\begin{aligned}
0 &=\oint_{S} x f(x) d y d z-x y f(x) d z d x-e^{2 x} z d x d y \\
&=\pm \iiint_{\Omega}\left[x f^{\prime}(x)+f(x)-x f(x)-e^{2 x}\right] d v
\end{aligned}
$$
其中 $\Omega$ 为 $S$ 所围成的有界闭区域, 当 $S$ 的法向量指向 $\Omega$ 外时, “±”中取“+”; 当 $S$ 的法向量指 向 $\Omega$ 内时, “±”中取“-”. 由 $S$ 的任意性, 知被积函数应为恒等于零的函数
即 $x f^{\prime}(x)+f(x)-x f(x)-e^{2 x}=0,(x > 0)$

变形后得 $\quad f^{\prime}(x)+\left(\frac{1}{x}-1\right) f(x)=\frac{1}{x} e^{2 x},(x > 0)$
这是一阶线性非齐次微分方程,
利用一阶线性非齐次微分方程 $\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$ 的通解公式:
$$
y=e^{-\int P(x) d x}\left(\int Q(x) \cdot e^{\int P(x) d x} d x+C\right)
$$
其通解为
$$
f(x)=e^{\int\left(1-\frac{1}{x}\right) d x}\left[\int \frac{1}{x} e^{2 x} \cdot e^{\int\left(\frac{1}{x}-1\right) d x} d x+C\right]=\frac{e^{x}}{x}\left[\int \frac{1}{x} e^{2 x} \cdot x e^{-x} d x+C\right]=\frac{e^{x}}{x}\left(e^{x}+C\right)
$$
由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{e^{2 x}+C e^{x}}{x}\right)=1$, 故必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(e^{2 x}+C e^{x}\right)=0$, (否则不能满足极 限值为 1 ), 即 $C+1=0$, 从而 $C=-1$.
因此 $f(x)=\frac{e^{x}}{x}\left(e^{x}-1\right)$.

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