【ID】1167 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2000年全国硕士研究生招生考试试题
设 $S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0), S_{1}$ 为 $S$ 在第一卦限中的部分, 则有 ()
$A.$ $\iint_{S} x \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{~d} S$. $B.$ $\iint_{S} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{~d} S$. $C.$ $\iint_{S} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_{1}} x \mathrm{~d} S$. $D.$ $\iint_{S} x y z \mathrm{~d} S=4 \iint_{S_{1}} x y z \mathrm{~d} S$.
答案:
C

解析:

【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有:
性质 1: 设 $f(x, y, z)$ 在分块光滑曲面 $S$ 上连续, $S$ 关于 $y o z$ 平面对称, 则
$$
\iint_{S} f(x, y, z) d S= \begin{cases}0 & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } x \text { 为奇函数 } \\ 2 \iint_{s_{1}} f(x, y, z) d S & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } x \text { 为偶函数 }\end{cases}
$$
其中 $S_{1}=S \cap\{x \geq 0\}$.
性质 2: 设 $f(x, y, z)$ 在分块光滑曲面 $S$ 上连续, $S$ 关于 $x o z$ 平面对称, 则
$$
\iint_{S} f(x, y, z) d S= \begin{cases}0 & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } y \text { 为奇函数 } \\ 2 \iint_{s_{1}} f(x, y, z) d S & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } y \text { 为偶函数 }\end{cases}
$$
其中 $S_{1}=S \cap\{y \geq 0\}$.

性质 3: 设 $f(x, y, z)$ 在分块光滑曲面 $S$ 上连续, $S$ 关于 $x_{o y}$ 平面对称, 则
$$
\iint_{S} f(x, y, z) d S= \begin{cases}0 & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } z \text { 为奇函数 } \\ 2 \iint_{s_{1}} f(x, y, z) d S & \text { 若 } f(x, y, z) \text { 关于 } z \text { 为偶函数 }\end{cases}
$$
其中 $S_{1}=S \cap\{z \geq 0\}$.
【详解】
方法 1:直接法:
本题中 $S$ 在 $x_{O y}$ 平面上方, 关于 $y_{o z}$ 平面和 $x o z$ 平面均对称, 而 $f(x, y, z)=z$ 对 $x, y$ 均为偶函数, 则
又因为在 $S_{1}$ 上将 $x$ 换为 $y, y$ 换为 $z, z$ 换为 $x, S_{1}$ 不变(称积分区域 $S_{1}$ 关于 $x, y, z$ 轮换对称), 从而将被积函数也作此轮换变换后, 其积分的值不变, 即有 $4 \iint_{S_{1}} z d S=4 \iint_{S_{1}} x d S=4 \iint_{S_{1}} y d S$. 选项 $(C)$ 正确.


方法 2: 间接法(排除法)
曲面 $S$ 关于 $y_{o z}$ 平面对称, $x$ 为 $x$ 的奇函数, 所以 $\iint_{S} x d S=0$, 而 $\iint_{S_{1}} x d S$ 中 $x \geq 0$ 且 仅在 $y_{o z}$ 面上 $x=0$, 从而 $\iint_{S_{1}} x d S > 0,(A)$ 不成立.
曲面 $S$ 关于 $z o x$ 平面对称, $y$ 为 $y$ 的奇函数, 所以 $\iint_{S} y d S=0$, 而 $\iint_{S_{1}} x d S > 0$, 所 以 $(B)$ 不成立.
曲面 $S$ 关于 $z o x$ 平面对称, $x y z$ 为 $y$ 的奇函数, 所以 $\iint_{S} x y z d S=0$, 而 $\iint_{S_{1}} x y z d S > 0$, 所以 $(D)$ 不成立.

视频讲解

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