题号:1127    题型:解答题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他 },\end{cases}
$$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$.
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答案:
矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩, 此题中被估参数只有一个, 故 只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)
(1) 矩估计:由期望的定义:
$$
\begin{aligned}
E(X) &=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) d x=\int_{0}^{\theta} x \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x) d x=\int_{0}^{\theta}\left(\frac{6 x^{2}}{\theta^{2}}-\frac{6 x^{3}}{\theta^{3}}\right) d x \\
&=\frac{6}{\theta^{2}} \int_{0}^{\theta} x^{2} d x-\frac{6}{\theta^{3}} \int_{0}^{\theta} x^{3} d x=\frac{6}{\theta^{2}} \frac{\theta^{3}}{3}-\frac{6}{\theta^{3}} \frac{\theta^{4}}{4}=2 \theta-\frac{3 \theta}{2}=\frac{\theta}{2}
\end{aligned}
$$
样本均值 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$, 用样本均值估计期望有 $E X=\bar{X}$,
即 $\frac{\theta}{2}=\bar{X}$, 解得 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=2 \bar{X}$
(2) 由随机变量方差的性质: $D(c X)=c^{2} D(X)$, 所以 $D(\hat{\theta})=D(2 \bar{X})=4 D(\bar{X})$
又由独立随机变量方差的性质:若 $X$ 和 $Y$ 独立, 则 $D(X+Y)=D X+D Y$
因 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 所以 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 独立且 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 与 $X$ 服从同一分布, 即 $D X_{i}=D X \quad i=1,2, \cdots n$
而 $D(\bar{X})=D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}} D\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D\left(X_{i}\right)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} D(X)$
$$
=\frac{1}{n^{2}} D(X) \sum_{i=1}^{n} 1=\frac{n}{n^{2}} D(X)=\frac{1}{n} D(X)
$$
方差的定义: $D(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$, 所以求方差只需要求出 $E\left(X^{2}\right)$ 和 $E(X)$
根据二阶原点矩的定义: $E\left(X^{2}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} f(x) d x$
故 $E\left(X^{2}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} f(x) d x=\int_{0}^{\theta} \frac{6 x^{3}}{\theta^{3}}(\theta-x) d x=\int_{0}^{\theta}\left(\frac{6 x^{3}}{\theta^{2}}-\frac{6 x^{4}}{\theta^{3}}\right) d x=\frac{6 \theta^{2}}{20}$
而 $E(X)=\frac{\theta}{2}$, 所以
$$
D(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}=\frac{6 \theta^{2}}{20}-\left(\frac{\theta}{2}\right)^{2}=\frac{\theta^{2}}{20}
$$
因此 $\hat{\theta}=2 \bar{X}$ 的方差为 $D(\hat{\theta})=D(2 \bar{X})=4 D(\bar{X})=\frac{4}{n} D(X)=\frac{\theta^{2}}{5 n}$.
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