题号:1113    题型:单选题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{\sqrt{x}}, & x > 0, \\ x^{2} g(x), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 是有界函数, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处( )
$A.$ 极限不存在. $B.$ 极限存在,但不连续. $C.$ 连续,但不可导. $D.$ 可导.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 2 次查看 我来讲解
答案:
D

解析:

由于可导必连续, 连续则极限必存在, 可以从函数可导性入手.
因为
$$
\begin{aligned}
&f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{x \sqrt{x}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x \sqrt{x}}=0, \\
&f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x^{2} g(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x g(x)=0,
\end{aligned}
$$
从而, $f^{\prime}(0)$ 存在, 且 $f^{\prime}(0)=0$, 故正确选项为 (D).
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭