题号:1111    题型:填空题    来源:1999年全国硕士研究生招生考试试题
设两两相互独立的三事件 $A, B$ 和 $C$ 满足条件: $A B C=\varnothing, P(A)=P(B)=P(C) < \frac{1}{2}$, 且已知 $P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 则 $P(A)=$
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答案:
$\frac{1}{4}$

解析:

根据加法公式有
$$
P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A C)-P(A B)-P(B C)+P(A B C)
$$
因为 $P(A)=P(B)=P(C)$, 设 $P(A)=P(B)=P(C)=p$
由于 $A, B, C$ 两两相互独立, 所以有
$$
\begin{aligned}
&P(A B)=P(A) P(B)=p \times p=p^{2}, \\
&P(A C)=P(A) P(C)=p \times p=p^{2}, \\
&P(B C)=P(B) P(C)=p \times p=p^{2},
\end{aligned}
$$
又由于 $A B C=\varnothing$, 因此有 $P(A B C)=P(\varnothing)=0$,
所以 $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A C)-P(A B)-P(B C)+P(A B C)$
$$
=p+p+p-p^{2}-p^{2}-p^{2}+0=3 p-3 p^{2}
$$
又 $P(A \cup B \cup C)=\frac{9}{16}$, 从而 $P(A \cup B \cup C)=3 p-3 p^{2}=\frac{9}{16}$, 则有 $3 p-3 p^{2}-\frac{9}{16}=0$ $\Rightarrow p^{2}-p+\frac{3}{16}=0$, 解得 $p=\frac{3}{4}$ 或 $p=\frac{1}{4}$

因 $P(A)=P(B)=P(C)=p < \frac{1}{2}$, 故 $p=\frac{1}{4}$, 即 $P(A)=\frac{1}{4}$

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