题号:1084    题型:解答题    来源:1998年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取 36 位考生的成绩,算得平均成绩为 $66.5$ 分, 标准差为 15 分. 问在显著性水平 $0.05$ 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?并 给出检验过程.
附表: $t$ 分布表
$$
P\left\{t(n) \leqslant t_{p}(n)\right\}=p
$$
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答案:
设该次考试的考生成绩为 $X$, 则 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 设 $\bar{X}$ 为从总体 $X$ 抽取的样本容量 为 $n$ 的样本均值, $S$ 为样本标准差, 则在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下建立检验假设:
$$
H_{0}: \mu=\mu_{0}=70, H_{1}: \mu \neq 70,
$$
由于 $\sigma^{2}$ 末知, 故用 $t$ 检验.
选取检验统计量,
$$
T=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S} \sqrt{n}=\frac{\bar{X}-70}{S} \sqrt{36}
$$
在 $\mu=\mu_{0}=70$ 时, $X \sim N\left(70, \sigma^{2}\right), T \sim t(35)$.
选择拒绝域为 $R=\{|T| \geq \lambda\}$, 其中 $\lambda$ 满足:
$$
P\{|T| \geq \lambda\}=0.05 \text {, 即 } P\{|T| \leq \lambda\}=0.975, \lambda=t_{0.975}(35)=2.0301 .
$$
由 $n=36, \bar{x}=66.5, \mu_{0}=70, s=15$, 可算得统计量 $T$ 的值:
$$
|t|=\frac{|66.5-70|}{15} \sqrt{36}=1.4 < 2.0301 .
$$
所以接受假设 $H_{0}: \mu=70$, 即在显著性水平 $0.05$ 下, 可以认为这次考试全体考生的平均成绩 为 70 分.

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