如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y=2 x-2$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $A(2, n)$, 在第三象限交于点 $B$, 过点 $B$ 作 $B C \perp x$ 轴于 $C$, 连接 $A C$.
(1) 求反比例函数的解析式;
(2) 求 $\triangle A B C$ 的面积;
(3) 根据图象直接写出不等式 $2 x-2 < \frac{k}{x}$ 的解集.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$