如图, $\odot O, \odot O_1$ 都经过 $A 、 B$ 两点, 且点 $O$ 在 $\odot O_1$ 上, 连接 $A O$ 并延长,交 $\odot O$ 于点 $C$, 连接 $B C$ 交 $\odot O_1$ 于点 $D$, 连接 $A D, A D \perp B O$, 若 $A B=3$, 则 $\overparen{B D}$ 的长为
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} \pi$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3} \pi$