在直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^{k} t, \\ y=\sin ^{k} t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$. 以坐标原点为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $4 \rho \cos \theta-16 \rho \sin \theta+3=0$.
(1) 当 $k=1$ 时, $C_{1}$ 是什么曲线?
(2) 当 $k=4$ 时, 求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点的直角坐标.